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拓樸學
(民國72年典藏版)
 
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拓樸學

        最早期所發展的拓樸學,大概可以分成兩種形態:一種是在西元一八九○年代由潘加略(H. Poincare)所創始的組合拓樸學;另一種是在一九○○年代由郝斯洛夫(F. Hausdorff)等人所發展的點集拓樸學。而首先將這兩種形態的拓樸學做統合工作的是布勞爾(L. E. J. Brouwer)。拓樸學雖然歸屬於幾何,但是它對數學的其他分支所產生的影響卻非常大。拓樸的概念,幾乎介入了數學的所有領域。

        所謂拓樸學的概念,說穿了其實非常簡單。在隨便一個集合S堙A令2s代表S的所有子集所構成的集合。任取2s堛漱l集合T滿足下列四條件:一、S? Τ;二、空集合φ? T;三、隨便幾個落在T堛搴的子集合,其聯集也必定落在T堙F四、隨便有限個落在T堛搴的子集合,其交集也必定落在T堙A則T稱為S上的一個拓樸結構。S上具備了這個拓樸結構就形成一個拓樸空間(S, T)。所有落在T堛搴的子集合,稱為這個拓樸空間堛熄}子集。設x?S,而x? U? T,則稱U為x這點的開鄰域。同一個集合S上可以給出各種不同的拓樸結構:例如取T =﹛φ,S﹜,或取T d=2S,則兩者顯然都是S上的拓樸結構。(S, T 0)使S成為一個無聊拓樸空間,其中開子集只有兩個。(S, T d)使S成為一個離散拓樸空間,其中任意子集合皆為開子集。介於這兩個最粗與最細的拓樸結構之間,通常還存在許多不同的拓樸結構。

        假設X、Y為兩個拓樸空間,f:X→Y為映射,如果對於Y中的任意開子集V,必定〈見圖一〉 ,也為X中之開子集,則f稱為連續映射。假設f為一對一的映成映射。而f本身,以及其逆映射f-1皆為連續映射,則稱f為同胚映射。這時X與Y就拓樸結構而言,完全沒有分別,而說X與Y是互相同胚的拓樸空間。拓樸學中主要所研究的,就是同胚的拓樸空間所共具的性質,或即能夠在同胚映射之下保持不變的性質,這種性質稱為拓樸不變量,或拓樸空間的內稟性質。例如有關多面體著名的Euler公式V-E+F=2就是。這使得拓樸學中所研究的,與通常幾何學中所研究的大為不同。在幾何學中,常只考慮歐氏運動群中的映射,而研究在這運動群之下的不變量。因此,像距離這種量就被保持不變,但是在同胚映射之下,距離可能改變而非為拓樸不變量。

        太任意的拓樸空間,不太容易獲取好的性質。因此,常常會適當引入一些額外的條件而考慮郝斯洛夫空間、林德洛夫(Lindelof)空間,或緊緻空間、完備空間、正則空間等等。例如對於緊緻拓樸空間,我們就能講很多的定理是一般拓樸空間上無法講的。另一方面,可能對某些特別重要的集合,我們可以使用某種特殊的方法,引入一種很方便、很有用的拓樸結構,而可考慮像函數空間中的斐特尼(H. Whitney) 拓樸,歐氏空間上的歐氏拓樸、Galois群上的Krull拓樸等等。

        對於拓樸空間上的函數,有一件比較可惜的是不容易加以計算。因此,如果在拓樸空間中,引入一個可微分結構而得出可微流型,我們就能輕易地把微積分的工具,引到拓樸空間的研究。像微分幾何、微分拓僕便都以可微流型,及其上之可微映射,做為考慮的主要對象。這些都可算是以拓樸學為基礎而發展的學問,而使得拓樸學成為近代數學中最基本的預備知識之一。(蕭欣忠)

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